Vectores y espacios vectoriales

Matemática · Lección 1

L2 Derivación Fase F1 Libro MML §2.4–2.5 Prereqs NumPy: primer contacto

Objetivo

Al terminar esta lección se puede:

  1. Definir un espacio vectorial por sus dos operaciones y comprobar sus axiomas sobre un caso concreto.
  2. Definir combinación lineal, span e independencia lineal, y distinguirlos sin recurrir a dibujos.
  3. Demostrar que dos vectores del plano con determinante no nulo generan todo \mathbb{R}^2 y que los coeficientes son únicos, y demostrar el recíproco: con determinante cero el span se derrumba a una recta.
  4. Demostrar que las coordenadas de un vector en una base son únicas, que es lo que hace legítimo escribir un vector como una lista de números.

De dónde viene

  • Python 6: los arreglos de NumPy, que son la forma en que estos objetos se escriben y se operan en código. La lección usa vectores de dos y tres componentes, nada más.
  • Es la primera lección del módulo: todo lo demás del plan de Matemática cuelga de aquí.

Para qué sirve después

  • Matemática 2: una matriz es una función que respeta estas dos operaciones, y sus columnas son las imágenes de una base.
  • Matemática 3: el espacio columna es el span de las columnas, y el rango cuenta cuántas son independientes.
  • Matemática 4 y 5: al espacio se le añade después un producto interno, y con él longitud, ángulo y proyección.
  • Estadística 5 y 12: cada fila de una tabla de mediciones es un vector, y cada columna también; la covarianza y la correlación se calculan entre esas columnas.

Notación

Símbolo Se lee Significado
v, w, u ve, doble ve, u Vectores, escritos como columnas
v_i ve sub i La coordenada i-ésima de v
a, b, \alpha a, be, alfa Escalares: números que multiplican vectores
\mathbb{R}^n erre ene El conjunto de las listas de n números reales
\operatorname{span}\{v,w\} span de v y w El conjunto de todas las combinaciones lineales de v y w
\det(v,w) determinante de v y w v_1w_2-v_2w_1, el área con signo del paralelogramo que forman

1. Las dos operaciones

El álgebra lineal se ocupa de conjuntos donde están definidas dos operaciones: sumar dos elementos y multiplicar un elemento por un número. Los elementos de esos conjuntos se llaman vectores, y las dos operaciones pertenecen al conjunto, no a cada elemento por separado. Todo lo que este módulo demuestra sale de ellas.

Escribir un vector de \mathbb{R}^n como una lista de n números es una representación cómoda, y la Proposición 1.8 precisará en qué sentido esa lista depende de la base que se elija.

Definición 1.1 (espacio vectorial). Un conjunto V con una suma y una multiplicación por escalares es un espacio vectorial si la suma es conmutativa y asociativa, existe un elemento neutro 0 y cada v tiene su opuesto -v, y el escalado cumple a(u+v)=au+av, (a+b)v=av+bv, a(bv)=(ab)v y 1\,v=v. Son ocho condiciones, y ninguna de ellas menciona coordenadas.

La ausencia de coordenadas en la definición es lo que le da alcance: bajo ella son espacios vectoriales los vectores de \mathbb{R}^n, las funciones continuas, los polinomios de grado menor que cinco y las filas de una tabla de mediciones, y todo lo que se demuestre aquí vale para los cuatro.

Los ocho axiomas de la Definición 1.1, comprobados sobre vectores sorteados:

2. Combinación, span e independencia

Definición 1.2 (combinación lineal). Dados vectores v_1,\dots,v_k y escalares a_1,\dots,a_k, la combinación lineal correspondiente es a_1v_1+\dots+a_kv_k. Es la única expresión que las dos operaciones de la Definición 1.1 permiten formar, y todo lo que sigue en el módulo se construye con ella.

Definición 1.3 (span). \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} es el conjunto de todas las combinaciones lineales de esos vectores. Es siempre un espacio vectorial, porque una combinación de combinaciones vuelve a serlo.

Definición 1.4 (independencia lineal). Los vectores v_1,\dots,v_k son linealmente independientes si la única combinación lineal suya que da el vector cero es la que tiene todos los coeficientes nulos. Si alguna otra lo consigue, son dependientes, y entonces uno de ellos se puede escribir en términos de los demás.

El visual deja mover v y w en el plano y recorrer su span con dos deslizadores.

El botón «Hacer w paralelo a v» derrumba el span de un plano a una recta y lleva el determinante a cero. Ese colapso es la dependencia lineal: w deja de aportar nada que v no tuviera ya. Las dos proposiciones que siguen convierten esa observación en un teorema con su recíproco.

Proposición 1.5 (dos independientes generan el plano). Sean v,w\in\mathbb{R}^2 con \det(v,w) = v_1w_2-v_2w_1 \ne 0. Entonces para todo u\in\mathbb{R}^2 existen escalares a,b únicos con u = av+bw.

Demostración. En coordenadas, buscar a y b es resolver el sistema a v_1 + b w_1 = u_1, \qquad a v_2 + b w_2 = u_2, es decir M\binom{a}{b} = u con M la matriz cuyas columnas son v y w. Como \det M = \det(v,w)\ne0, la matriz es invertible y el sistema tiene solución única. Escribiéndola con la inversa explícita de una matriz 2\times2, \binom{a}{b} = \frac{1}{\det(v,w)}\begin{pmatrix} w_2 & -w_1\\ -v_2 & v_1\end{pmatrix}\binom{u_1}{u_2}, lo que prueba a la vez la existencia y la unicidad. ∎

Proposición 1.6 (el recíproco). Si \det(v,w)=0 y v\ne0, entonces w es múltiplo de v y \operatorname{span}\{v,w\} es la recta generada por v: todo u fuera de ella es inalcanzable.

Demostración. De v_1w_2 = v_2w_1 con v\ne0, supóngase v_1\ne0 —el caso v_2\ne0 es simétrico— y tómese \lambda = w_1/v_1. Entonces w_1=\lambda v_1, y de la igualdad de determinantes, w_2 = v_2w_1/v_1 = \lambda v_2; luego w=\lambda v. Cualquier combinación es entonces av+bw = av+b\lambda v = (a+b\lambda)\,v, un múltiplo de v. El span es la recta \{tv\}, y un u que no sea múltiplo de v no puede escribirse así. ∎

Las dos proposiciones juntas dicen que en el plano no hay término medio: dos vectores generan todo o generan una recta, y el determinante decide cuál de las dos. Cuando en la lección 6 dos predictores casi colineales hagan explotar una regresión, será este mismo colapso, visto desde el otro lado.

La celda contrasta la fórmula cerrada de la Proposición 1.5 con la solución que da NumPy.

3. Base y coordenadas

La Proposición 1.5 dice algo más de lo que parece: que los coeficientes son únicos. Eso es lo que permite escribir un vector como una lista de números sin ambigüedad.

Definición 1.7 (base). Una familia \{v_1,\dots,v_n\} de un espacio V es una base si es linealmente independiente y su span es todo V. El número n es la dimensión de V.

Proposición 1.8 (las coordenadas son únicas). Si \{v_1,\dots,v_n\} es una base de V, todo u\in V se escribe de una única manera como u=\sum_j a_jv_j. Esos a_j son las coordenadas de u en esa base.

Demostración. La existencia es que el span sea todo V. Para la unicidad, supóngase u=\sum_j a_jv_j = \sum_j b_jv_j. Restando, \sum_j (a_j-b_j)\,v_j = 0, y por independencia lineal (Definición 1.4) todos los coeficientes de esa combinación son cero: a_j=b_j para todo j. ∎

La Proposición 1.8 precisa entonces la advertencia de la sección 1: la lista de coordenadas está determinada por el vector y por la base, de modo que el mismo vector tiene listas distintas en bases distintas. Cambiar de base es reescribir la lista sin tocar el objeto que representa, y eso es lo que hace el análisis de componentes principales cuando busca direcciones nuevas para los mismos datos.

Ejercicios

Ejercicio 1 — Combinación lineal

Encuentra los coeficientes a y b que expresan objetivo como combinación lineal de v y w, usando np.linalg.solve.

Los vectores van como columnas de la matriz: np.column_stack([v, w]). Después np.linalg.solve(M, objetivo) devuelve el vector [a, b].

Ejercicio 2 — Detectar dependencia

Escribe la condición que decide si dos vectores de \mathbb{R}^2 son linealmente dependientes, usando el determinante y una tolerancia numérica.

El determinante de 2\times2 es v[0]*w[1] - v[1]*w[0]. Son dependientes cuando ese valor es cero — pero en punto flotante nunca es exactamente cero, así que compara su valor absoluto contra tol.

Reto

En proyectos/notebooks/F1-retos.ipynb, sección Mat 1:

  1. Escribir son_dependientes(*vectores) para cualquier número de vectores de cualquier dimensión, usando el rango en lugar del determinante, con una tolerancia razonada. Probarla en casos construidos a propósito: dos vectores iguales, tres vectores en un plano de \mathbb{R}^3, y una familia independiente.
  2. Tomar tres columnas numéricas de un conjunto de datos público —por ejemplo peso, altura e índice de masa corporal, que se calcula con las otras dos— y comprobar si la función las detecta como dependientes. No lo son, porque la relación es una división y no una combinación lineal; conviene entender por qué el determinante no da cero antes de leer la lección 3.
  3. Comprobar los ocho axiomas de la Definición 1.1 sobre un espacio que no sea \mathbb{R}^n: los polinomios de grado menor que cuatro, representados por sus coeficientes. Sumarlos, escalarlos y verificar que las ocho condiciones se cumplen exactamente igual.

Del libro

Mathematics for Machine Learning define los espacios vectoriales en §2.4 Vector Spaces y la independencia lineal en §2.5 Linear Independence, en el orden inverso al de esta página: allí la estructura abstracta va primero y los ejemplos después.

El libro tiene copyright y no es descargable desde el entorno en que se escribió esta página, así que se cita número y título y no se le atribuye ninguna frase.

Preguntas para leer §2.4 y §2.5 con lápiz:

  1. MML enuncia los ocho axiomas de la Definición 1.1 por separado. ¿Cuáles de ellos se usan realmente en la demostración de la Proposición 1.8?
  2. El libro define subespacio. ¿Por qué el span de la Definición 1.3 es siempre uno, y qué habría que comprobar para demostrarlo?
  3. §2.5 da un criterio de independencia por eliminación gaussiana. ¿Cómo se relaciona con el criterio del determinante de las Proposiciones 1.5 y 1.6, y cuál de los dos sirve en \mathbb{R}^{10}?

Para el Cerebro

Nota nueva en 10-Conceptos/espacio-vectorial.md, enlazada a [[combinacion-lineal]], [[espacio-columna]] y [[base-y-coordenadas]]. La Proposición 1.8 conviene rehacerla a mano: son cuatro líneas y es la que justifica que se pueda trabajar con listas de números sin perder nada.

¿Qué dos operaciones definen un espacio vectorial?::Sumar dos vectores y multiplicar un vector por un escalar
¿Qué es una combinación lineal?::Una suma de vectores multiplicados por escalares: a₁v₁ + … + aₙvₙ
¿Qué es el span de un conjunto de vectores?::El conjunto de TODAS sus combinaciones lineales; es siempre un espacio vectorial
¿Cuándo son linealmente independientes?::Cuando la única combinación suya que da cero es la de todos los coeficientes nulos
¿Qué dice det(v,w) ≠ 0 sobre dos vectores del plano?::Que generan todo R² y que los coeficientes de cada u son únicos (Proposición 1.5)
¿Y si det(v,w) = 0?::Que w es múltiplo de v y el span se derrumba a una recta (Proposición 1.6)
¿Qué es una base?::Una familia independiente cuyo span es todo el espacio; su tamaño es la dimensión
¿Por qué las coordenadas son únicas?::Porque dos representaciones distintas darían una combinación nula no trivial, y eso contradice la independencia
¿De qué depende la lista de coordenadas de un vector?::Del vector y de la base elegida: el mismo vector tiene listas distintas en bases distintas

Fuentes

Lo que esta página demuestra sola. Las Proposiciones 1.5, 1.6 y 1.8 se demuestran aquí a partir de las Definiciones 1.1 a 1.4. Se comprueban además numéricamente: las dos operaciones sobre un caso concreto, los ocho axiomas sobre vectores sorteados, y la fórmula cerrada de la Proposición 1.5 contra np.linalg.solve. El visual es el de la versión anterior de esta lección, que ya tenía identificadores en todos sus controles; solo se juntaron sus tres vallas {=html} en una.

Lo que se usa de otras lecciones sin repetir. Nada: es la primera lección del módulo. De Python 6 se usan los arreglos de NumPy como herramienta de cálculo.

Lo que se enuncia sin demostrar. Que una matriz 2\times2 es invertible si y solo si su determinante no es cero se usa en la Proposición 1.5 con la inversa explícita escrita, de modo que la comprobación es directa; el tratamiento general del determinante es la lección 8.

Lo que viene de los libros.

  • Mathematics for Machine Learning (Deisenroth, Faisal & Ong, Cambridge University Press, 2020), §2.4 Vector Spaces y §2.5 Linear Independence — citadas por número y título, sin transcribir texto.

Lo que es mío, no del libro. El orden —las dos operaciones primero, la estructura abstracta después—, la Proposición 1.6 enunciada como recíproco explícito de la 1.5, y la lectura de la Proposición 1.8 como la justificación de que un vector se pueda escribir como una lista de números.

Índices verificados el 12-09-2026 contra el índice publicado del PDF oficial.

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