El determinante: qué mide y por qué se multiplica

Matemática · Lección 8

L2 Derivación Fase F1 Libro MML §4.1 Prereqs Producto interno · Espacio columna y rango

Objetivo

Al terminar esta lección se puede:

  1. Demostrar que el valor absoluto del determinante de una matriz 2\times 2 es el área del paralelogramo que generan sus columnas.
  2. Explicar qué significa su signo y qué significa que valga cero.
  3. Demostrar que \det(AB) = \det(A)\det(B) y deducir de ahí el determinante de la inversa.
  4. Justificar por qué las operaciones de la eliminación gaussiana dejan el determinante intacto.

De dónde viene

  • Lección 3: el rango y la independencia lineal. La Proposición 8.4 traduce «rango menor que 2» en «determinante cero».
  • Lección 4: el producto interno, la norma y el ángulo. La demostración de la Proposición 8.3 es literalmente la identidad \|u\|^2\|v\|^2 - (u\cdot v)^2, la misma cantidad que aparece en Cauchy-Schwarz.
  • Lección 5: la proyección ortogonal da la altura del paralelogramo, que es lo que la sección 4 mantiene fijo.

Para qué sirve después

  • Lección 9: los eigenvalores se definen como las raíces de \det(A-\lambda I) = 0. Sin determinante no hay definición.
  • Lección 11: los valores singulares y el volumen que una matriz escala son la misma idea en dimensión cualquiera.
  • Estadística 12: la densidad de una normal multivariante lleva \det(\Sigma) en el denominador, y es exactamente el factor de volumen de esta lección.
  • Estadística 13: el cambio de variable en una integral múltiple se paga con el valor absoluto del determinante del jacobiano.

Notación

Símbolo Se lee Significado
A a Una matriz cuadrada; aquí casi siempre 2\times 2
\det(A), \lvert A\rvert determinante de a El número que esta lección define y mide
a, b, c, d Las entradas de A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}
u, v u, v Las dos columnas de A: u = (a,c) y v = (b,d)
\|u\| norma de u La longitud del vector u (Definición 4.3)
u \cdot v u punto v El producto interno de u y v (Definición 4.1)
I i La matriz identidad

Un aviso de lectura: en A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}, las columnas son (a,c) y (b,d), leídas hacia abajo. Es fácil leerlas por filas y confundirse; todo lo geométrico de esta lección se refiere a las columnas, porque son ellas las imágenes de los vectores de la base (Proposición 2.4).

1. La definición y lo que mide

Definición 8.1 (determinante 2\times 2). Para A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}, \det(A) = ad - bc.

Así escrita es una receta sin sentido aparente. La proposición siguiente le da uno.

Definición 8.2 (paralelogramo generado). Dados u, v \in \mathbb{R}^2, el conjunto \{\,s\,u + t\,v \;:\; 0 \le s \le 1,\; 0 \le t \le 1\,\} es el paralelogramo de lados u y v con un vértice en el origen.

Proposición 8.3. Si u = (a,c) y v = (b,d) son las columnas de A, el área del paralelogramo que generan es |\det(A)| = |ad-bc|.

Demostración. El área de un paralelogramo es base por altura. Tomando u como base, la altura es la distancia de v a la recta que sostiene u, que vale \|v\|\sin\theta siendo \theta el ángulo entre los dos. Luego \text{área} = \|u\|\,\|v\|\sin\theta. Elevando al cuadrado y usando \sin^2\theta = 1-\cos^2\theta: \text{área}^2 = \|u\|^2\|v\|^2\big(1-\cos^2\theta\big) = \|u\|^2\|v\|^2 - \big(\|u\|\|v\|\cos\theta\big)^2 = \|u\|^2\|v\|^2 - (u\cdot v)^2, donde el último paso es la Definición 4.7, que define el ángulo por u\cdot v = \|u\|\|v\|\cos\theta. Sustituyendo coordenadas: \|u\|^2\|v\|^2 - (u\cdot v)^2 = (a^2+c^2)(b^2+d^2) - (ab+cd)^2. Se desarrollan los dos productos: (a^2+c^2)(b^2+d^2) = a^2b^2 + a^2d^2 + c^2b^2 + c^2d^2, (ab+cd)^2 = a^2b^2 + 2abcd + c^2d^2. Al restar, a^2b^2 y c^2d^2 se cancelan y queda a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ad-bc)^2. Luego \text{área}^2 = (ad-bc)^2, y como el área no es negativa, \text{área} = |ad-bc|. ∎

Note

La identidad \|u\|^2\|v\|^2 - (u\cdot v)^2 = (ad-bc)^2 es la identidad de Lagrange en dimensión dos. Como el lado izquierdo es un cuadrado, es \ge 0, y eso da \,(u\cdot v)^2 \le \|u\|^2\|v\|^2: la desigualdad de Cauchy-Schwarz de la Proposición 4.8, que en la lección 5 de estadística acotó la correlación entre -1 y 1. El determinante mide exactamente cuánta holgura hay en esa desigualdad.

El visual deja leer las tres cosas que el número codifica.

La magnitud es un factor de escala. El cuadrado punteado tiene área 1 y su imagen tiene área |\det|. Por la Proposición 2.4, las columnas son las imágenes de los vectores de la base, así que el paralelogramo es la imagen del cuadrado unidad. Y como cualquier región se puede aproximar por cuadraditos, el mismo factor vale para toda área, no solo para esa.

El signo es la orientación. Girando las columnas hasta cruzarlas, el determinante pasa por cero y cambia de signo. Positivo significa que la segunda columna queda a la izquierda de la primera, igual que (0,1) respecto de (1,0); negativo, que el plano se ha dado la vuelta, como en un espejo. El área nunca es negativa, pero el determinante sí, y esa información extra es la que el valor absoluto tira.

El cero es un colapso. Cuando las columnas son paralelas el paralelogramo se aplasta a un segmento y el área es cero.

Proposición 8.4. \det(A) = 0 si y solo si las columnas de A son linealmente dependientes, es decir, si y solo si A no tiene rango 2.

Demostración. Por la Proposición 8.3, \det(A) = 0 equivale a área cero, y por la fórmula \|u\|\|v\|\sin\theta = 0 eso ocurre exactamente cuando u = 0, o v = 0, o \sin\theta = 0. Los tres casos son el mismo enunciado: uno de los dos vectores es múltiplo del otro, que es la Definición 3.4 de dependencia lineal. Y por la Proposición 3.7, dos vectores de \mathbb{R}^2 son independientes exactamente cuando generan todo el plano, es decir, cuando el rango es 2. ∎

La consecuencia práctica es la que se usa a diario: A tiene inversa si y solo si \det(A) \ne 0. Si el determinante es cero, la transformación aplasta el plano sobre una recta, dos puntos distintos acaban en el mismo sitio, y ninguna transformación puede deshacer eso.

2. Por qué se multiplica

Proposición 8.5. Para dos matrices 2\times 2 cualesquiera, \det(AB) = \det(A)\det(B).

Demostración. Sean A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} y B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h\end{pmatrix}. El producto es AB = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}, y aplicando la Definición 8.1: \det(AB) = (ae+bg)(cf+dh) - (af+bh)(ce+dg). Se desarrollan los dos productos: (ae+bg)(cf+dh) = acef + adeh + bcfg + bdgh, (af+bh)(ce+dg) = acef + adfg + bceh + bdgh. Al restar, acef y bdgh se cancelan y queda adeh + bcfg - adfg - bceh = ad(eh-fg) - bc(eh-fg) = (ad-bc)(eh-fg), donde en el último paso se ha sacado factor común (eh-fg). Eso es \det(A)\det(B). ∎

La cuenta sale, pero no explica nada. La razón es geométrica, y la Proposición 8.3 la deja a la vista: aplicar B multiplica todas las áreas por |\det(B)|, y aplicar después A las multiplica por |\det(A)|. Encadenar las dos multiplica por el producto, porque eso es lo que hacen los factores de escala. El signo sigue la misma lógica: invertir la orientación dos veces la deja como estaba, y (-1)(-1) = 1.

Los paneles 2 y 3 dibujan la misma figura por dos caminos: aplicar B a la imagen de A, o aplicar BA de una vez. Que coincidan no es una propiedad del determinante sino de la composición de funciones; lo que la Proposición 8.5 añade es que sus áreas se pueden calcular sin dibujar nada, multiplicando dos números.

Proposición 8.6. Si A tiene inversa, entonces \det(A^{-1}) = 1/\det(A).

Demostración. De A A^{-1} = I y la Proposición 8.5, \det(A)\det(A^{-1}) = \det(I) = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1. Por la Proposición 8.4, si A tiene inversa entonces \det(A) \ne 0, así que se puede dividir. ∎

Lo que dice es razonable: si A triplica las áreas, deshacerla tiene que dividirlas entre tres. Y si A las aplasta a cero, no hay ningún número por el que multiplicar para recuperarlas: no hay inversa.

3. Lo que la eliminación gaussiana no cambia

Proposición 8.7. Sumarle a una columna un múltiplo de la otra no cambia el determinante. Con A = (u \mid v) y t \in \mathbb{R} cualquiera, \det\big(u \mid v + t\,u\big) = \det\big(u \mid v\big).

Demostración. Con u = (a,c) y v = (b,d), la nueva segunda columna es (b+ta,\; d+tc). Aplicando la Definición 8.1: a(d+tc) - (b+ta)c = ad + tac - bc - tac = ad - bc, porque los dos términos en t se cancelan. ∎

La cancelación es la cuenta; la razón es la que el visual enseña.

Sumarle a la columna 2 un múltiplo de la columna 1 la desliza a lo largo de la columna 1. La base —la longitud de la columna 1— no se toca, y la altura —la distancia de la punta de la columna 2 a la recta que sostiene la columna 1, que es la norma de la componente ortogonal de la Proposición 5.5— tampoco, porque desplazarse en la dirección de u no cambia la distancia a la recta de u. Base por altura sigue valiendo lo mismo, y el paralelogramo cambia de forma sin cambiar de área.

De aquí salen dos cosas.

La primera es por qué la eliminación gaussiana es legítima para calcular determinantes: cada paso de restarle a una fila un múltiplo de otra deja el número intacto, así que se puede llevar la matriz a forma triangular y leer el resultado del producto de la diagonal. Es lo que hace numpy.linalg.det por dentro, y por eso cuesta O(n^3) y no el O(n!) de la fórmula con permutaciones.

La segunda es una advertencia. Las otras dos operaciones elementales sí cambian el determinante: intercambiar dos columnas le cambia el signo —invierte la orientación—, y multiplicar una columna por k lo multiplica por k. Solo la de la Proposición 8.7 es gratis.

Las tres reglas se cumplen en la matriz 5\times 5 aunque todo lo demostrado aquí fue para 2\times 2: las propiedades valen en cualquier dimensión. Lo que no se ha hecho es demostrarlas ahí.

4. Más allá de 2\times 2

Todo lo anterior se ha demostrado para matrices 2\times 2, donde las cuentas caben en una línea. Las mismas propiedades valen en dimensión n —con «volumen n-dimensional» en lugar de «área»— pero la definición general necesita maquinaria que este plan todavía no tiene.

Para 3\times 3 hay una regla explícita, el desarrollo por cofactores: \det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} = a_{11}\det\begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} - a_{12}\det\begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{pmatrix} + a_{13}\det\begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{pmatrix}, que reduce un determinante 3\times 3 a tres de tamaño 2\times 2, con signos alternados. Se puede iterar hasta cualquier n, y de ahí sale el O(n!) mencionado arriba: por eso nadie lo usa para calcular, solo para demostrar.

Lo que se retiene para el resto del plan, y vale en toda dimensión:

Propiedad Enunciado
Volumen \lvert\det(A)\rvert es el factor por el que A multiplica todo volumen
Signo Negativo significa que A invierte la orientación
Singularidad \det(A) = 0 ⟺ A no tiene rango completo ⟺ no hay inversa
Producto \det(AB) = \det(A)\det(B)
Inversa \det(A^{-1}) = 1/\det(A)
Transpuesta \det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A)
Triangular Si A es triangular, \det(A) es el producto de la diagonal

De esta tabla, en esta lección se han demostrado las cinco primeras para 2\times 2. Las dos últimas se usan sin demostrar, y se señala aquí para no darlas por ganadas.

Ejercicios

Ejercicio 1 — El determinante como factor de área

Comprobar la Proposición 8.3 por conteo. Se generan puntos uniformes en un cuadrado grande, se cuenta qué fracción cae dentro del paralelogramo generado por las columnas de A, y de ahí se estima su área. Devolver esa área estimada.

(st >= 0) & (st <= 1) da una matriz de booleanos de tamaño N\times 2. Hacen falta las dos coordenadas a la vez: .all(axis=1) reduce cada fila a un solo booleano. La media de eso es la fracción.

fraccion = ((st >= 0) & (st <= 1)).all(axis=1).mean()

El área estimada cae cerca de 3,5, que es |\det A| = 2\cdot 2 - 1\cdot 0{,}5. El error que queda es de conteo: con N puntos, el error estándar de una proporción p es \sqrt{p(1-p)/N}, que aquí ronda las milésimas.

Ejercicio 2 — Multiplicatividad en dimensión alta

La Proposición 8.5 se demostró solo para 2\times 2. Comprobar que sigue valiendo en dimensión 8, sobre 200 pares de matrices aleatorias. Devolver el mayor error relativo encontrado.

izq debe ser el determinante del producto, der el producto de los determinantes. El producto de matrices es A @ B. Se devuelven los dos como una tupla: izq, der = ..., ....

izq, der = np.linalg.det(A @ B), np.linalg.det(A) * np.linalg.det(B)

El error queda en el orden de 10^{-13} o menor: es aritmética de punto flotante, no una discrepancia real. Nótese que el determinante de una matriz 8\times 8 con entradas normales puede valer miles o millonésimas, y por eso se compara el error relativo y no el absoluto.

Reto

En proyectos/notebooks/F1-retos.ipynb, sección Mat 08:

  1. Escribir det_cofactores(A) con el desarrollo de la sección 4, recursivo, y det_gauss(A) con eliminación gaussiana y pivoteo parcial. Comparar tiempos para n = 2,\dots,10 en escala logarítmica y localizar a partir de qué n el primero deja de ser viable. Contrastar los dos contra np.linalg.det.
  2. Generar matrices 2\times 2 con entradas enteras entre -9 y 9, y dibujar con matplotlib el histograma de sus determinantes. ¿Es simétrico? ¿Qué valor es el más frecuente, y por qué ese? Repetirlo para entradas uniformes continuas y explicar la diferencia.
  3. El número de condición de una matriz mide cuánto amplifica los errores al resolver un sistema. Generar matrices 2\times 2 con determinante cada vez más pequeño y medir el error al resolver Ax = b con np.linalg.solve frente a la solución exacta. ¿Basta con mirar el determinante para saber si una matriz es problemática? Comparar con np.linalg.cond y explicar por qué no son lo mismo.

Del libro

Mathematics for Machine Learning trata el determinante en MML §4.1 Determinant and Trace, dentro del capítulo 4 Matrix Decompositions, que es el capítulo que las lecciones 9 a 11 recorren entero.

Warning

No se cita texto de MML porque no se pudo extraer su contenido de forma verificable al escribir esta página: solo se comprobaron los números y títulos de sección contra el índice del PDF oficial. Los enunciados y demostraciones de arriba están escritos aquí y no reproducen los del libro; pueden diferir en notación y en el orden de los pasos.

Preguntas para leer §4.1 con lápiz:

  1. El libro presenta también la traza, que esta lección no toca. ¿Qué relación establece entre traza y determinante, y cuál de las dos es invariante bajo cambio de base?
  2. Comparar la definición del determinante que da el libro con la Definición 8.1 de aquí. ¿Parte de la fórmula explícita, del desarrollo por cofactores, o de una lista de propiedades axiomáticas? Cada camino tiene un coste distinto en lo que hay que demostrar después.
  3. §4.1 antecede a §4.2 Eigenvalues and Eigenvectors. Antes de leerla: ¿por qué la definición de eigenvalor necesita el determinante? La lección 9 responde, pero conviene intentarlo antes.

Para el Cerebro

Nota nueva en 10-Conceptos/determinante.md, enlazada a [[producto-interno]], [[espacio-columna]] y [[proyeccion-ortogonal]]. La demostración de la Proposición 8.3 conviene hacerla a mano una vez: es la que convierte ad-bc de receta en medida.

¿Qué es el determinante de una matriz 2×2?::ad − bc, donde la matriz es [[a,b],[c,d]]
¿Qué mide su valor absoluto?::El área del paralelogramo generado por las columnas, que es la imagen del cuadrado unidad
¿Vale ese factor solo para el cuadrado unidad?::No. Es el factor por el que la matriz multiplica CUALQUIER área
¿Qué significa el signo del determinante?::Si es negativo, la transformación invierte la orientación del plano, como un espejo
¿Qué significa que el determinante valga cero?::Que las columnas son linealmente dependientes: la matriz aplasta el plano sobre una recta y no tiene inversa
¿Qué identidad aparece al demostrar que |det| es el área?::‖u‖²‖v‖² − (u·v)² = (ad−bc)², la identidad de Lagrange. De ella sale Cauchy-Schwarz
¿Cuánto vale det(AB)?::det(A)·det(B). Los factores de escala se multiplican al encadenar transformaciones
¿Cuánto vale det(A⁻¹)?::1/det(A), que sale de det(A)det(A⁻¹) = det(I) = 1
¿Qué operación de la eliminación gaussiana no cambia el determinante?::Sumarle a una fila (o columna) un múltiplo de otra
¿Por qué no lo cambia?::Porque desliza la punta del vector a lo largo del otro, sin tocar ni la base ni la altura
¿Qué operaciones sí lo cambian?::Intercambiar dos filas le cambia el signo; multiplicar una fila por k lo multiplica por k
¿Cómo se calcula un determinante en la práctica?::Por eliminación gaussiana hasta forma triangular, y luego el producto de la diagonal. Cuesta O(n³)
¿Por qué no se usa el desarrollo por cofactores?::Porque cuesta O(n!). Sirve para demostrar, no para calcular
¿Dónde reaparece el determinante más adelante?::En la definición de eigenvalor, det(A − λI) = 0; en la densidad de la normal multivariante; y en el cambio de variable de una integral múltiple

Fuentes

Lo que esta página demuestra sola. Las Proposiciones 8.3, 8.4, 8.5, 8.6 y 8.7 se demuestran aquí para el caso 2\times 2, a partir de la Definición 4.1 (producto interno), la Definición 4.7 (ángulo), la Definición 3.4 (dependencia lineal) y la Proposición 3.7 (rango y generación). Las tres propiedades de la sección 3 se comprueban además numéricamente sobre una matriz 5\times 5, donde las demostraciones de aquí ya no alcanzan.

Lo que se enuncia sin demostrar. Que las propiedades de la tabla de la sección 4 valen en dimensión n cualquiera. Que \det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A) y que el determinante de una matriz triangular es el producto de su diagonal. El desarrollo por cofactores se escribe para 3\times 3 sin justificar por qué define lo mismo que la Definición 8.1 al bajar a 2\times 2.

Lo que viene de los libros.

  • Mathematics for Machine Learning (Deisenroth, Faisal & Ong), §4.1 Determinant and Trace — referenciada por número y título verificados contra el índice del PDF oficial. No se cita texto suyo: no se pudo extraer su contenido de forma verificable.

Lo que es mío, no del libro. La numeración de definiciones y proposiciones. La demostración de la Proposición 8.3 vía la identidad de Lagrange, y su lectura como «el determinante mide la holgura de Cauchy-Schwarz», es forma de presentarlo; lo mismo el orden que va de la geometría a la fórmula en vez de al revés, y la tabla de la sección 4 separando lo demostrado de lo usado.

Índices verificados el 12-09-2026 contra el índice publicado del libro.

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