La matriz como transformación

Matemática · Lección 2

L1 Fundamento Fase F1 Libro MML §2.7 Prereqs Vectores y espacios

Objetivo

Al terminar esta lección se puede:

  1. Definir qué es una transformación lineal y demostrar que queda determinada por las imágenes de los vectores de la base.
  2. Demostrar que las columnas de una matriz son exactamente esas imágenes, y que por tanto Mv es una combinación lineal de las columnas.
  3. Demostrar que componer dos transformaciones corresponde a multiplicar sus matrices, en ese orden.
  4. Demostrar las tres propiedades que una transformación lineal no puede violar —el origen se queda quieto, las rectas van a rectas y las paralelas siguen paralelas— y reconocer cuándo aplasta el plano.

De dónde viene

  • Matemática 1: la combinación lineal y la base canónica. Esta lección solo necesita eso y la definición de linealidad; todo lo demás se deduce.

Para qué sirve después

  • Matemática 3: el espacio columna es el conjunto de todas las salidas posibles, y la Proposición 2.3 es la que lo convierte en el span de las columnas.
  • Matemática 8: el determinante mide cuánto multiplica las áreas esta transformación, y que sea cero es exactamente el aplastamiento de la Proposición 2.6.
  • Matemática 9: un eigenvector es una dirección que la transformación no gira, solo estira.
  • Estadística 12: una normal multivariante es una normal estándar transformada por una matriz; su forma elíptica sale de aquí.

Notación

Símbolo Se lee Significado
T te Una transformación: una función que toma vectores y devuelve vectores. Aquí es eso; en Estadística 9 y 10, T es un estadístico
M, A, B eme, A, B Matrices
e_1,\dots,e_n e sub uno La base canónica: e_j tiene un 1 en la posición j y ceros en el resto
M_{:,j} columna jota de M La columna j-ésima de M
T\circ S te compuesta con ese La transformación que aplica primero S y después T

1. Una matriz es una función

Definición 2.1 (transformación lineal). Una función T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m es lineal si para todos los vectores u,v y todo escalar \alpha: T(u+v) = T(u)+T(v), \qquad T(\alpha u) = \alpha\,T(u). No se le pide nada más, y de esas dos condiciones sale todo lo que sigue.

Proposición 2.2 (queda determinada por la base). Si T es lineal y se conocen T(e_1),\dots,T(e_n), entonces T está determinada por completo: para todo v, T(v) = v_1\,T(e_1) + \dots + v_n\,T(e_n).

Demostración. Todo vector se escribe en la base canónica como v = v_1e_1+\dots+v_ne_n. Aplicando T y usando primero la aditividad y después la homogeneidad de la Definición 2.1, T(v) = T\Big(\sum_j v_je_j\Big) = \sum_j T(v_je_j) = \sum_j v_j\,T(e_j). ∎

Proposición 2.3 (las columnas son las imágenes). Sea M la matriz cuya columna j es T(e_j). Entonces T(v) = Mv para todo v, y en consecuencia Mv = v_1\,M_{:,1} + \dots + v_n\,M_{:,n}: el producto matriz-vector es una combinación lineal de las columnas, con los pesos de v.

Demostración. Por la Proposición 2.2, T(v)=\sum_j v_jT(e_j) = \sum_j v_j M_{:,j}. Escribiendo la coordenada i de esa suma se obtiene \sum_j m_{ij}v_j, que es precisamente la definición de la coordenada i del producto Mv. Recíprocamente, Me_j = M_{:,j} por la misma cuenta, de modo que las columnas de M son las imágenes de la base. ∎

La consecuencia se usa a diario y conviene decirla con todas las letras: la estructura del producto es por columnas. Calcularlo fila por fila es un truco aritmético cómodo, pero la lectura que sirve para entender —y la que hace falta en la lección 3— es que Mv recorre combinaciones de las columnas.

En el visual, arrastrar las puntas de las flechas es editar directamente las columnas de la matriz, y la cuadrícula muestra a dónde va a parar el plano entero.

Los botones recorren los casos clásicos: identidad, rotación, escalado, corte y una matriz singular. En el último, las dos columnas son dependientes y el plano entero se aplasta sobre una recta: la Proposición 2.6 dice qué se pierde ahí.

2. Componer es multiplicar

Proposición 2.4 (composición). Sean S y T lineales con matrices B y A. Entonces T\circ S —aplicar primero S y después T— es lineal y su matriz es el producto AB.

Demostración. Que la composición es lineal sale de aplicar la Definición 2.1 dos veces: T(S(u+v)) = T(S(u)+S(v)) = T(S(u))+T(S(v)), e igual con los escalares. Por la Proposición 2.3, la matriz de T\circ S tiene por columna j la imagen de e_j, que es T\big(S(e_j)\big) = A\,(B e_j) = A\,B_{:,j}, es decir, A aplicada a la columna j de B. Apilando esas columnas se obtiene exactamente la definición del producto de matrices: la columna j de AB es A B_{:,j}. ∎

De aquí salen dos hechos que suelen memorizarse sueltos. El primero, que el orden de lectura es de derecha a izquierda: en ABv actúa antes B, porque está más cerca de v. El segundo, que el producto de matrices no es conmutativo, lo cual deja de ser sorprendente en cuanto se piensa en funciones: rotar y después estirar no da lo mismo que estirar y después rotar.

3. Lo que una transformación lineal no puede hacer

Las tres propiedades que el visual sugiere —el origen no se mueve, las rectas siguen rectas, las paralelas siguen paralelas— se deducen de la Definición 2.1, sin mirar el dibujo.

Proposición 2.5 (las tres restricciones). Si T es lineal:

  1. T(0)=0: el origen se queda quieto;
  2. la imagen de la recta \{p+tv : t\in\mathbb{R}\} es \{T(p)+t\,T(v)\}, que es otra recta —o un punto, si T(v)=0—;
  3. dos rectas paralelas van a parar a dos rectas paralelas, o a dos puntos.

Demostración. (1) Por homogeneidad con \alpha=0: T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0. (2) Aplicando las dos propiedades, T(p+tv) = T(p)+tT(v); al recorrer t todos los reales, el lado derecho recorre la recta que pasa por T(p) con dirección T(v), y se reduce al punto T(p) si T(v)=0. (3) Dos rectas paralelas comparten dirección v; por (2) sus imágenes tienen las dos la dirección T(v), luego son paralelas —o los dos puntos del caso degenerado—. ∎

Proposición 2.6 (aplastar es perder). Si las columnas de M son linealmente dependientes, existe v\ne 0 con Mv=0, y entonces M no es invertible: dos vectores distintos tienen la misma imagen.

Demostración. Que las columnas sean dependientes significa que existe v\ne0 con \sum_j v_jM_{:,j}=0, y por la Proposición 2.3 eso es Mv=0. Entonces, para cualquier u, M(u+v) = Mu+Mv = Mu: los puntos u y u+v —distintos, porque v\ne0— tienen la misma imagen, así que T no es inyectiva y no puede tener inversa. ∎

Ese v del enunciado es el primer habitante del núcleo, que la lección 3 estudia en serio; y el área que el visual reporta como cero es el determinante de la lección 8. Las tres lecciones hablan del mismo fenómeno desde tres ángulos.

Las dos proposiciones centrales, escritas como código: el producto matriz-vector como combinación de columnas y el producto de matrices como composición, columna a columna.

Ejercicios

Ejercicio 1 — Construir la matriz desde las imágenes

Te dicen a dónde van los vectores base. Arma la matriz.

Las imágenes de la base son las columnas de la matriz, no las filas. np.column_stack las apila en esa orientación.

Ejercicio 2 — Detectar el aplastamiento

Escribe una función que diga si una matriz cuadrada colapsa el espacio, es decir, si es singular.

Colapsa exactamente cuando el determinante es cero. np.linalg.det(M) lo calcula; compara su valor absoluto contra tol, nunca contra cero exacto.

Reto

En proyectos/notebooks/F1-retos.ipynb, sección Mat 2:

  1. Escribir matvec y matmul sin usar @ ni np.dot, construyendo cada resultado como combinación lineal de columnas —como en la celda de arriba—. Probarlas contra NumPy en doscientos casos de dimensiones variadas, y medir cuánto más lentas son.
  2. Construir las matrices de rotación de 30°, 45° y 90°, y comprobar numéricamente que R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}. Después comprobar que R_\alpha R_\beta = R_\beta R_\alpha para rotaciones, pero que una rotación y un escalado no conmutan: dibujar los dos resultados y explicar la diferencia con la Proposición 2.4.
  3. Tomar una matriz singular y aplicarla a una cuadrícula de doscientos puntos del plano. Dibujar las imágenes y comprobar que caen todas sobre una recta. Encontrar después, resolviendo a mano, un vector v\ne0 con Mv=0: es el que la Proposición 2.6 garantiza.

Del libro

Mathematics for Machine Learning trata las aplicaciones lineales en §2.7 Linear Mappings, en un lenguaje más abstracto que el de esta página: allí se definen entre espacios vectoriales cualesquiera, y las matrices aparecen después, como la representación de una aplicación en una base elegida.

El libro tiene copyright y no es descargable desde el entorno en que se escribió esta página, así que se cita número y título y no se le atribuye ninguna frase.

Preguntas para leer §2.7 con lápiz:

  1. MML distingue entre la aplicación lineal y su matriz, que depende de la base elegida. ¿Qué frase exacta de la Proposición 2.3 dejaría de ser cierta si la base no fuera la canónica?
  2. El libro define inyectividad, sobreyectividad e isomorfismo para aplicaciones lineales. ¿Cuál de las tres es la que niega la Proposición 2.6?
  3. §2.7 trata el cambio de base. Si una matriz representa una rotación en la base canónica, ¿qué la representa en otra base, y por qué esa pregunta se vuelve central en la lección 9?

Para el Cerebro

Nota nueva en 10-Conceptos/matriz-como-transformacion.md, enlazada a [[combinacion-lineal]], [[espacio-columna]] y [[determinante]]. La Proposición 2.2 conviene rehacerla a mano: son tres líneas y es el argumento del que cuelga toda el álgebra lineal que viene después.

¿Qué es una transformación lineal?::Una función que cumple T(u+v) = T(u)+T(v) y T(αu) = αT(u), y nada más
¿Por qué basta con saber a dónde van los vectores de la base?::Porque T(v) = Σ vⱼ T(eⱼ) por linealidad (Proposición 2.2)
¿Qué son las columnas de una matriz?::Las imágenes de los vectores de la base canónica: Meⱼ = columna j
¿Qué es Mv, estructuralmente?::Una combinación lineal de las columnas de M con los pesos de v
¿Qué matriz tiene la composición T∘S?::El producto AB, con A la matriz de T y B la de S: primero actúa la de la derecha
¿Por qué el producto de matrices no conmuta?::Porque componer funciones no conmuta: rotar y luego estirar no es estirar y luego rotar
¿Qué le pasa al origen bajo una transformación lineal?::Se queda quieto: T(0) = 0
¿A qué va a parar una recta?::A otra recta —o a un punto, si su dirección está en el núcleo—
¿Qué pasa si las columnas son dependientes?::Existe v ≠ 0 con Mv = 0, dos puntos distintos tienen la misma imagen y M no es invertible

Fuentes

Lo que esta página demuestra sola. Las Proposiciones 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 y 2.6 se demuestran aquí a partir únicamente de la Definición 2.1. Se comprueban además numéricamente: que Mv coincide con la combinación de columnas y que Me_j es la columna j; que componer es multiplicar, con el orden importando; y las implementaciones desde cero de matvec y matmul contrastadas contra NumPy. El visual es el de la versión anterior, al que se le añadieron identificadores a los botones de preajuste para que el gate de visuales pueda accionarlos.

Lo que se usa de otras lecciones sin repetir. La combinación lineal y la base canónica son la lección 1.

Lo que se enuncia sin demostrar. Nada.

Lo que viene de los libros.

  • Mathematics for Machine Learning (Deisenroth, Faisal & Ong, Cambridge University Press, 2020), §2.7 Linear Mappings — citada por número y título, sin transcribir texto.

Lo que es mío, no del libro. La Proposición 2.5, que convierte en teorema las tres observaciones que el visual sugiere, y la 2.6, que presenta el aplastamiento como pérdida de inyectividad y deja preparadas las lecciones 3 y 8.

Índices verificados el 12-09-2026 contra el índice publicado del PDF oficial.

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